Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

Partie A   Étude d'un exemple

Soit  \(q\) un réel strictement positif. On pose : \(S=1+q+q^2\) .                           \(\)

1. Que vaut `S` si `q=1` ?

2. On suppose dans cette question que \(q\neq 1\) .

    a. Développer l'expression  \(q(1+q+q^2).\)

    b. En déduire une expression simple de \(qS-S\) en fonction de \(q\) .

    c. En déduire que \(S=\dfrac{1-q^3}{1-q}\cdot\)

Partie B   Généralisation

Soit  \(q\) un réel strictement positif. On pose : \(S_n=1+q+q^2+\cdots+q^n\) .

1. Que vaut `S_n` si `q=1` ?

2. On suppose dans cette question que \(q\neq 1\) .

    a. Écrire `qS_n` sous la forme d'une somme de puissances de \(q\) .

    b. En déduire que : \(qS_n-S_n=q^{n+1}-1\) .

    c. Montrer que : \(S_n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) .

Partie C   Application

Une personne décide de se mettre à la course à pied à raison d'une séance par semaine. La première semaine, elle n'arrive à parcourir qu'un kilomètre et décide d'augmenter la distance parcourue de 10 % chaque semaine.

1. Combien aura-t-elle parcouru de kilomètres la 5 ^e semaine ?

2. Son objectif est d'atteindre une distance de 10 km par séance.

    a. Combien de semaines d'entraînement lui seront nécessaires pour atteindre son objectif ?

    b. Quelle distance aura-t-elle parcouru en tout lors de ces entraînements ?

    c. Combien de kilomètres aura-t-elle parcouru au total à la fin de la 40 ^e semaine ?